I.DÃY TRUY HỒI

Dạng 1. Dãy Fibonacci

.1.1. Bài toán mở đầu: Giả sử thỏ đẻ theo quy luật sau: Một đôi thỏ cứ mỗi tháng để được một đôi thỏ con, mỗi đôi thỏ con cứ sau 2 tháng lai sinh ra một đôi thỏ nữa, rồi sau mỗi tháng lại sinh ra một đôi thỏ con khác v.v… và giả sử tất cả các con thỏ đều sống.
Hỏi nếu có một đôi thỏ con nuôi từ tháng giêng đến tháng 2 thì đẻ đôi thỏ đầu tiên thì đến cuối năm có bao nhiêu đôi thỏ?
-- Giải --
- Tháng 1 (giêng) có một đôi thỏ số 1.
- Tháng 2 đôi thỏ số 1 đẻ đôi thỏ số 2. Vậy có 2 đôi thỏ trong tháng 2.
- Tháng 3 đôi thỏ số 1 đẻ đôi thỏ số 3, đôi thỏ số 2 chưa đẻ được. Vậy có 2 đôi thỏ trong tháng 3.
- Tháng 4 đôi thỏ số 1 đẻ đôi thỏ số 4.1, đôi thỏ số 2 để đôi thỏ số 4.2, đôi thỏ số 3 chưa đẻ. Vậy trong tháng 4 có 5 đôi thỏ.
Tương tự ta có tháng 5 có 8 đôi thỏ, tháng 6 có 13 đôi thỏ, …
Như vậy ta có dãy số sau: (ban đầu)1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89; 144; 233 (tháng 12)
Đây là một dãy số có quy luật: Mỗi số hạng kể từ số hạng thứ ba bằng tổng hai số hạng trước đó.
Nếu gọi số thỏ ban đầu là u1; số thỏ tháng thứ n là un thì ta có công thức:
u1 = 1; u2 = 1; un+1 = un + un-1 (với n
2)
Dãy
có quy luật như trên là dãy Fibonacci. un gọi là số (hạng) Fibonacci.

1.2. Công thức tổng quát của số Fibonacci:

(*)
Chứng minh
Với n = 1 thì
; Với n = 2 thì
;
Với n = 3 thì
;
Giả sử công thức đúng tới n
k. Khi ấy với n = k + 1 ta có:




Theo nguyên lý quy nạp công thức (*) đã được chứng minh.
.1.3. Các tính chất của dãy Fibonacci:
1. Tính chất 1: um = uk.um+1-k + uk-1.um-k hay un+m = un-1um + unum+1
Ví dụ: Để tính số thỏ sau 24 tháng ta chọn n = m = 12 thay vào công thức ta có:
u24 = u12 + u12 = u11.u12 + u12.u13 = 144(89 + 233)
2. Tính chất 2: u2n+1 = u(n+1)+n= unun + unun+1 =

Ví dụ: Để tính số thỏ sau 25 tháng ta làm như sau:
u25 =
= 2332 + 1442 = 7502.
3. Tính chất 3:

4. Tính chất 4:

5. Tính chất 5:

6. Tính chất 6:

7. Tính chất 7:

8. Tính chất 8:
trong đó
là nghiệm của phương trình x2 – x – 1 = 0, tức là

Nhận xét: ( Tính chất 1 và 2 cho phép chúng ta tính số hạng của dãy Fibonacci mà không cần biết hết các số hạng liên tiếp của dãy. Nhờ hai tính chất này mà có thể tính các số hạng quá lớn của dãy Fibonacci bằng tay (dùng giấy bút để tính) mà máy tính điện tử không thể tính được (kết quả không hiển thị được trên màn hình). Các tính chất từ 3 đến 7 có tác dụng giúp chúng ta trong việc chứng minh các bài toán có liên quan đến dãy Fibonacci thường gặp trong các bài thi, tính chất 8 giúp tìm các số hạng không chỉ của dãy Fibonacci mà các số hạng của các dãy biến thể của Fibonacci có tính hội tụ (bị chặn) trong một khoảng nào đó. Dạng toán này thường gặp trong các kỳ thi tỉnh và kỳ khu vực.
1.4. Tính các số hạng của dãy Fibonacci trên máy tính điện tử

Tính theo công thức tổng quát

Ta có công thưc tổng quát của dãy:
. Trong công thức tổng quát số hạng un phụ thuộc n, vì n thay đổi nên ta dùng biến nhớ Ans để thay giá trị n trong phép tính.
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím:



Muốn tính n = 10 ta ấn
, rồi dùng phím
một lần để chọn lại biểu thức vừa nhập ấn

Tính theo dãy
Ta có dãy Fibonacci: u1 = 1; u2 = 1; un+1 = un +